מהי כמות המספרים שבעזרתם נוכל להרכיב כל מספר מ 1- 1000.  ומהם המספרים האלה?

 בשביל לפתרון זאת עלינו להתחיל ממהתחלה:

 

המספר 1 בוודאי נצרך  כי אין גורמים קטנים יותר שיכולים להרכיב אותו. כמו כן המספר 2 בוודאי נצרך .   3 לא נצרך (2+1) . 4 שוב נצרך .   

 

אם נמשיך בדרך זו  נגלה ש גם המספר 8 נצרך וכן 16 

בעצם אנו נזדקק ל -10 מספרים:

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 

מספרים אלו למעשה הם חזקות של המספר 2 בסדר עולה - 0^2 , 1^2 , 2^2, 3^2 וכן הלאה .  

 

ההסבר לזה פשוט:

אנו משיגים כל פעם מספרים שמצליחים להרכיב את המספר  n-1 וכשנוסיף זה את המספר    n  נמצא שבידינו להשיג כל צירוף עד 2n-1

אולם 2n איננו בר הרכבה כעת, כי אי

 

לכן כאשר יש בידינו מספרים מ -1 עד 1^2  נוכל להרכיב כל מספר עד     1 -2^2.  אבל  אנו נזקק  למספר 2^2 .  ואז נוכל להרכיב כל מספר עד  1- 3^2  וכן הלאה.  

 

למעשה כאשר הגענו ל -512 = 9^2  נוכל להרכיב כל מספר עד1 - 10^2  = 1023   

 

 

דרך אגב חידה נוספת הקשורה לחזקות של 2:

 

אם יש חיידק המתחלק לשניים בכל שנייה. ולוקח לו דקה למלא כוס. כמה זמן יקח לכוס להתמלאות אם נשים בכוס שני חיידקים?

 

התשובה היא לא 30  שניות אלא 59 שניות!

 

והסיבה ברורה: הרי ההתרבות היא כל פעם פי שתיים אז 2 חיידקים ב - 59 שניות מתרבים באופן שווה לחיידק אחד ב - 60 שניות. שבשניה הנוספת שוב המספר נכפל.

אפשר להמחיש זאת עוד כי בשניה השנייה יש 2 חיידקים בכוס. ועד שהכוס מתמלאה יש 59 שניות.