שני אנשים שונים כותבים כל אחד מספר כאוות נפשו על פתק מבלי להיוועץ זה עם זה. המספר יכול להיות כל מספר - לא חייב להיות חיובי ולא חייב להיות שלם.

 

אחד מהם מראה לכם את הפתק. כעת, מבלי לדעת כלום על מה שכתב השני, עליכם לנחש איזה מבין המספרים גדול יותר.

 

האם קיימת דרך לנחש זאת בהסתברות של יותר מ  50% לתשובה נכונה?

 

אנא הסתירו את תשובותיכם (כתבו בצבע אות וצבע רקע זהים).

בהנחה שבחירת המספרים היא אקראית וההסתברות לבחירת מספר חיובי או שלילי היא זהה

אזי

שבחירת מספר תהיה תמיד בין מינוס אין סוף לאינסוף כאשר

בין אפס למינוס אין סוף 50% ובין אפס ל אין סוף 50% (היות ולכל מספר יש תמיד את המקביל השלילי)

משמע שאם בפתק יהיה כתוב מספר הגדול מ אפס אז ההסתברות שהמספר בפתק השני תהייה שלילית

ולכן ההסתברות גדולה מ 50% שהוא יהיה גדול יותר

כנ"ל הפוך

(ניסיתי :-)

בתגובה לאופק - הבהרה.

 

המספרים אינם בהכרח אקראיים.

 

אין לי בינתיים תשובה (אלא אם כן התשובה היא לא) , אבל התשובה של אופק אינה נכונה:

 

נכון שהמספר אפס מחלק את כל המספרים ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף לשני חלקים שווים, אבל כך גם כל מספר אחר. לאינסוף חוקים משלו. לכן, צודק אופק שהסיכויים שהמספר יהיה גדול או קטן מאפס הם שווים, אבל כך גם הסיכויים שהוא יהיה גדול או קטן מכל מספר אחר.

רפי,

 

התשובה היא "כן" כלומר קייימת דרך להגדיל את הסיכוי ליותר מ 50% .

 

ואתה צודק במה שכתבת בתגובה לאופק.

השאלה קשה במיוחד, לדעתי, אבל הפתרון קל להבנה, ואינו מצריך עבודה קשה. מה שלא אומר שהוא אינטואיטיבי. ההפך.

 

ועד שתפתרו או תבקשו רמזים, הנה דוגמה למצב בחיים שהפתרון יוכל לעזר לכם בו:

 

נניח שאתם רוצים לקנות מקרר. בדיוק היום יש מבצע בחנות החשמל. אבל, כדרכן של חנויות כאלו, אולי בשבוע הבא גם יהיה מבצע. ואולי המחיר יהיה נמוך יותר. אתם יודעים רק את המחיר היום, ועליכם לקבל החלטה היום. קיימת דרך להחליט ולקבל החלטה נכונה ביותר מ-50% של המקרים.

הרמז האחרון רומז שאני טועה, אבל -

 

נראה לי שאין דרך מתמטית להגיע להסתברות של יותר מ50% ללא נתונים נוספים, ולכן נראה לי שצריך לחפש את הפתרון במקום אחר. אם נוכל להגביל את תחום המספרים האפשריים כך שלא יהיה אינסופי, נוכל לקחת את אמצע התחום הזה כנקודה שמעליה יהיה סיכוי קטן יותר שהמספר השני הוא גדול יותר ותחתיה סיכוי גדול יותר.

אני בטוח שאפשר למצוא נתון סטטיסטי פסיכולוגי על העדפות של אנשים לרשום מספרים בתחומים מסויימים, אבל הנתון הזה אינו בידנו. לעומת זאת, מספר הספרות שאפשר לכתוב על פתק הוא מוגבל. אם נבדוק כמה ספרות נכנסות באופן סביר על פתק ממוצע, נוכל למצוא תחום מוגבל של מספרים אפשריים. יש לזכור שהסימן מינוס תופס גם הוא מקום, ולכן התחום לא יהיה סימטרי ביחס לאפס.

אפשר גם להניח שרוב האנשים לא ירשמו מספר בצורה של חזקות של 10. מספרים לא שלמים - עשרוניים או בצורת שברים פשוטים לא יחרגו מהתחום.

כיוון שהשאלה קשה ביותר לפתרון, אז הנה כמה שלבים ורמזים, ואז הפתרון:

 

הצעד הראשון והמשמעותי שצריך לעשות כדי להגיע לתשובה (אפשר לקרוא בנחת, הקשר בין הצעד הזה לבין הפתרו לגמרי לא טריויאלי, אבל אתם מוזמנים לעצור כאן ולנסות):

 - צריך לבחור מספר כלשהו בתחום. במקרה הפרטי שלנו - מספר כלשהו. אם אתם אמיצים ונחושים מאוד, נסו להמשיך מכאן. אם לא - לכו לצעד הבא.

 

הצעד השני, שגם אם תדעו אותו עדיין יהיה קשה להבין מדוע הוא מביא לתוצאה הנדרשת הוא, אבל אתם יכולים לנסות:

- אם המספר הגלוי לכם גדול יותר מהמספר השרירותי שבחרתם - המרו שהמספר הגלוי לכם הוא הגדול בין שני המספרים שנכתבו על הפתקים.

- אם המספר הגלוי לכם קטן יותר מהמספר השרירותי שלכם, המרו שהמספר המוסתר הוא הגדול יותר מבין המספרים שנכתבו על הפתקים.

 

ועכשיו ההסבר הלא מסובך מדוע השיטה עובדת:

נקרא למספר הנמוך מבין המספרים שעל הפתקים X ולמספר הגבוה מביניהם Y.

נחלק את התחום (במקרה שלנו את כל ציר המספרים) לשלושה איזורים - a, b ו c:

<----------------X-----------------Y------------->

          a                b                c

 

על הפתק שנגלה לנו מופיע או X או Y, ואין לנו דרך לדעת איזה מהם.

 

נקרא למספר השרירותי שבחרנו Z. המספר יכול ליפול באחד משלושת האיזורים. 

- אם אנחנו יודעים ש-Z נפל באיזור a, המספר הגלוי (X או Y, לא משנה) יהיה  גדול יותר מהמספר האקראי שבחרנו, Z. לפי השיטה שלנו ננחש תמיד שהמספר הגלוי הוא הגדול מבין השניים. הניחוש יהיה נכון אם Y גלוי ולא נכון אם X גלוי. ולכן לא שיפרנו את מצבנו - הסיכוי שלנו לצדוק בניחוש הוא  1/2. 

- כנ"ל אם Z נפל באיזור c.

- אבל אם Z נפל באיזור b - אזי אם Y הוא הגלוי אז Z קטן ממנו, לפי השיטה שלנו, ננחש ש-Y הוא הגדול, ונצדק. ואם X הוא הגלוי אזי Z גדול ממנו  ושוב ננחש ש Y (המוסתר) הוא הגדול, ושוב נצדק! כלומר, אם נפלנו בתחום b נצדק תמיד.

 

 

עכשיו, כדי לדעת את הסיכוי שלנו לקבל תוצאה נכונה יהיה עלינו לחבר את מכפלות ההסתברות לצדוק בכל אחד מהתחומים בההסתברות שZ יפול באותו תחום.

 

נקרא להסתברות לכך ש Z נפל בתחום Pa - a, וכנ"ל בתחום b ו-c.

לכן ההסתברות הכללית לקלוע נכון היא:

                                                                                                    1/2Pa +Pb +1/2Pc = 1/2(Pa+Pb+Pc)+1/2Pb

 

אבל כמובן ש Pa+Pb+Pc=1 כי ברור שZ יפול באחד מהתחומים, ולכן הסיכוי שלנו לנחש נכון הוא:

1/2 + 1/2Pb - שזה יותר מ 50%.

 

מאמר על על הנושא, השימושים, והדרכים לשפר את הסיכויים במקרים ספציפיים - כאן.

להבנתי יש כאן מוקש לא מפורק:

אם אנחנו מדברים על תחום אינסופי של מספרים בעלי סיכוי שווה להבחר, ההסתברות לפגוע בתוך תחום סופי כלשהו היא אפס. כלומר Pb=0, Pa=Pc=1/2 ומכאן שנשארנו עם הסתברות של חמישים אחוז לנחש נכון.

 

רפי,

 

כנראה שאתה צודק. בכל אופן, אפשר לעקוף את המוקש על ידי הגבלת התחום, אאל"ט. 

רפי, בניגוד להודעתי הקודמת, מסתבר שכנראה אתה לא צודק.

 

התייעצתי עם מומחים, ומסתבר שלקטע סופי על הישר הממשי יש הסתברות שאינה אפס, בניגוד למה שאמרת.

יש שיקולים מתמטיים שלקוחים מתורת המידה שמראים  את זה. אפשר גם להשתמש בשיקול הבא: ניתן למפות את כל הישר הממשי לתחום שבין 0 ל 1 (אם אתה מתעקש, אז ARCTAN עושה את העבודה). קטע סופי על הישר הממשי ימופה, מן הסתם, לקטע סופי בתחום 1 - 0, ואם השאלה שלנו היתה דנה רק בקטע (הפתוח) 0 - 1, היית מסכים איתי שלקטע סופי עליו יש הסתברות שאינה אפס.לכן גם במקרה שלנו, האנלוגי, יש הסתברות שאינה אפס לכך ש Z יפול בין X ל Y.

 

בכל אופן, אם רוצים להימנע מהסיבוכים האלו, אפשר לשאול את השאלה על תחום סופי, ועדיין התשובה יפה ובלתי צפויה.

אני חולק על דעת המומחים. נכון שאפשר למפות את ישר המספרים לקטע סופי משום שגם בקטע סופי יש אינסוף נקודות. יש לזכור שכאשר עושים מיפוי כזה, הולכים ומקטינים כל הזמן את קנה המידה של המיפוי ככל שמתקרבים לקצוות עד שהוא שואף ל-0.

המיפוי עדיין לא עושה את הקטע הסופי אנלוגי לכל ישר המספרים.

אם נגדיר תחום סופי של מספרים בהסתברות אחידה, ההסתברות שמספר אקראי יפול בתוך קטע מהתחום תהיה שווה לגודל הקטע חלקי התחום כולו. אם התחום הוא אינסופי נקבל מספר חלקי אינסוף.

אם ההסתברות אינה אפס, למה תהיה למשל שווה ההסתברות שהמספר יפול בין 1 ל-3?

אבל אם נעזוב את ההסתבכות עם נסיונות לערוך חישובים על אינסוף, ההסתברות בכל מקרה תשאף ל-0 ולא תגדיל באמת את הסיכויים שלנו לנחש נכון.

לעומת זאת אם ניקח תחום סופי השיטה תעבוד, אבל עדיין נראה לי שהסיכוי שלנו לנחש נכון יגדל אם במקום לבחור מספר אקראי נבחר את אמצע התחום.