נתונות שתי מעטפות כאשר באחת מהן יש סכום כפול מאשר בשנייה (הסכומים אינם ידועים).

יש לך (2) אפשרויות: 

- להחליף בין המעטפות.

- לקחת את הכסף. 

האם כדאי להחליף בין המעטפות (אם כן - עד מתי) ולמה?

אם ניתן היה לראות את הסכום באחת המעטפות - האם התשובה הייתה שונה ולמה?

השאלה לא ברורה:

מה פירוש להחליף בין המעטפות? להחליף את מיקומן? להחליף את התוכן שלהן?

איזה כסף לוקחים? את שתי המעטפות? אחת מהן?

צטט: רפי מור 1 2008-04-29 16:17:59

השאלה לא ברורה:

 

מה פירוש להחליף בין המעטפות? להחליף את מיקומן? להחליף את התוכן שלהן?

איזה כסף לוקחים? את שתי המעטפות? אחת מהן?

 

יש בידך מעטפה עם כסף.

אתה לא יודע כמה כסף יש בה.

יש מעטפה שניה.

אתה גם לא יודע כמה כסף יש בה.

אתה יכול לקחת את השניה או להשאר עם הראשונה.

האם תשובתך תשתנה לאחר שתדע כמה כסף יש רק במעטפה בידך?

מכיר סיפור דומה עם נתונים קצת שונים.

נערך סקר שבו היתה אפשרות להרוויח 32,000 בסיכוי של 100% או 40,000 ב-80%.

מצד שני, להפסיד 32,000 ב-100% או 40,000 ב-80%.

כמדומני אנשים העדיפו להרוויח 40,000 ולהפסיד 32,000.

בקשר למעטפה, יש לי 2X כסף בה. או להשאר עם הכסף או להחליף תמורת X או 4X.

אני חושב שהייתי מחליף כי ה-4X גדול פי 4 מה-X?

רגע...אולי בעצם הייתי מחליפה כי...

אם סכום הכסף במעטפה הראשונה שבחרנו הוא A שקלים, הרי שסכום הכסף במעטפה האחרת הוא או 2A שקלים או A/2 שקלים, ולכן החלפה בין המעטפות תביא באותה הסתברות או לרווח של A שקלים או להפסד של A/2 שקלים.

הפרדוקס הוא כזה:

בחישוב פשוט רואים שכדאי להחליף את המעטפה, תוחלת הרווח היא:

0.5A-0.5A/2=0.25A.

אחרי שהחלפנו את המעטפה פעם אחת שואלים אותנו אם אנחנו רוצים שוב להחליף את המעטפה, היות והתוחלת עדין 0.25A אז כמובן שנרצה להחליף שוב את מעטפה וחוזר חלילה עד אין קץ...

ערן, תשובה נכונה - קבל כוכב!

תשובה: 

תוחלת הסכום שיש במעטפה האחרת (בהנחה שבמעטפה שבידינו יש x) היא 2X*0.5 + 0.5*0.5x שזה 1.25X ולכן כדאי להחליף. הפרדוקס הוא שנמשיך לבצע החלפות לעד למרות שברור שאין סיבה.

הסיבה לפרדוקס הוא שהזכיה גבוהה מההפסד. אם היינו יודעים שיש שתי מעטפות שבהן הפרש הסכום קבוע, הסיפור היה שונה לחלוטין.

אדם - קבל כוכב על הסיוע בהבהרת השאלה.

וללימור - על שהלכת יותר מחצי הדרך....אני חייב לך כוכב (כי נגמרו לי הכוכבים להיום).

הפרדוקס הזה הוא מסוג הפרדוקסים שמסתתר בו חישוב לא נכון, כמו ההוכחה ש1=2 והחידה עם העודף במסעדה שאת פרטיה אני לא זוכר.

סכום המכפלות של הסיכוי לזכות במעטפה בסכום שהיא מכילה אין לו משמעות לגבי הסיכוי שלך לזכות בסכום זה או אחר. אתה יכול באותו אופן לחשב את התוחלת במעטפה שבידך ולהראות שכדאי לך להשאר איתה ולא להחליף.

להגיד שהזכיה גבוהה מההפסד זה בערך כמו להגיד שתמיד כדאי להשקיע בבורסה כי אתה יכול להרוויח מאות אחוזים אבל להפסיד רק מאה אחוז...

רפי

מכפלה של סיכוי לארוע מסויים ב"רווח" או "תועלת" מאותו אירוע (וסכימה של כל האירועים האפשריים) זוהי למעשה תוחלת. כיוון שהתוחלת של להשאר עם המעטפה הנוכחית היא X ואילו של להחליף מעטפה 1.25X אז עדין נעדיף להחליף מעטפה.

וגבי ההערה על הבורסה, היא נכונה תחת הנחה שאף פעם לא מתקיימת, שהסיכוי להרוויח מאות אחוזים שווה לסיכוי להפסיד מאה אחוז. אם נניח שברזולוציה הכי קטנה של סחירות (נניח ברמת הסנט או אגורה או פיפס) התנועה היא אקראית לגמרי אז הסיכוי שלך להרוויח את אותו סנט או פיפס שווה לסיכוי שתפסיד אותו אז הסיכוי שלך להרוויח 100% שווה לסיכוי להפסיד 100%

ערן,

אתה מוכן להסביר את אופן החישוב של התוחלת?

 לדעתי אין הבדל בין המעטפות. נניח ששתי המעטפות מונחות על השולחן אחת שייכת לאדם שמשחק ואנחנו לא יודעים איזו. איך נעשה את חישוב התוחלת?

ברור שהחישוב הזה אינו נכון. למשתתף יש 50 אחוז סיכוי לקבל כל אחד מסכומי הכסף אם יחליף את המעטפה ואם לא, מכאן שאי אפשר להגיד שכדאי לו להחליף את המעטפות.

צטט: רפי מור 1 2008-04-30 16:42:42

ערן,

 

אתה מוכן להסביר את אופן החישוב של התוחלת?

לדעתי אין הבדל בין המעטפות. נניח ששתי המעטפות מונחות על השולחן אחת שייכת לאדם שמשחק ואנחנו לא יודעים איזו. איך נעשה את חישוב התוחלת?

ברור שהחישוב הזה אינו נכון. למשתתף יש 50 אחוז סיכוי לקבל כל אחד מסכומי הכסף אם יחליף את המעטפה ואם לא, מכאן שאי אפשר להגיד שכדאי לו להחליף את המעטפות.

התוחלת בודקת את הסיכוי להרוויח מול הרווח. לדוגמא: אם תזרוק מטבע וכשיצא עץ תקבל שקל וכשיצא פלי תפסיד 2 שקלים אתה לא תרצה לשחק כי הוחלת תהיה 50% (לקבל עץ) *1 שקל שאתה יכול להרוויח פחות 50% (שיצא פלי) * 2 שקלים שאתה יכול להפסיד. לכן בסה"כ יש יותר סיכוי שתפסיד מאשר שתרוויח כי בממוצע יצא לך בחצי מהפעמים עץ ובחצי מהפעמים פלי. אומרים שמשחק הוא הוגן אם התוחלת היא אפס- הסיכוי להרוויח שווה לסיכוי להפסיד.

במיקרה של המעטפות הסיכוי לקבל כל אחת מהמעטפות הוא אכן 50% אבל הרווח לכל אחת הוא שונה. נחזור למשחק עם המטבעות, אם יצא עץ תקבל שקל אם יצא פלי תקבל 2 שקלים. זורקים פעם אחת, האם תעדיף לזרוק שוב או לקחת את מה שיצא וללכת?

מכיוון שהתוחלת גבוהה מאפס ככל שתזרוק יותר הסיכוי שלך להרוויח גדל ולכן , למרות שאתה לא יודע מה יצא, אתה תעדיף לזרוק שוב.