בבקשה לא לכתוב בפורום זה פתרונות או רמזים בצורה גלויה.

לאדם אחד יש בעיית פזילה שגורמת לו לראות כל דבר מוטה ב-60 מעלות ימינה מהמקום האמיתי שבו הוא נמצא ביחס אליו. האיש עומד מול עמוד שנמצא במרחק 100 מטרים ממנו. הוא מתחיל לצעוד והולך כל הזמן בכיוון שבו נראה לו העמוד (60 מעלות ימינה מכיוונו האמיתי של העמוד). מה יהיה אורך המסלול שבו יצעד האיש עד שיגיע לעמוד?

בערך 150 מטרים.

אם נסתכל על המשולש שנבנה, המרחק הוא 200.

http://img184.imageshack.us

נו, נראה לי שצריך לפתור לכם את זה:

אם נקח קטע קטן מאד של מסלול ההליכה של האיש בנקודה כלשהי לאורך המסלול, כך ההפרש בזוית משני קצות הקטע אל המוט זניח, נוכל לראות משולש ישר זוית שהאיש הולך לאורך היתר שלו, ההפרש במרחק אל המוט הוא אחת הצלעות והזוית בינהם היא 60 מעלות.

אם נקרא למרחק שהולך האיש s ולמרחק של האיש מהמוט r יתקיים dr/ds=cos(60)=0.5 כלומר, כאשר האיש נע יחידת אורך אחת הוא מתקרב אל המוט חצי יחידת אורך ומכאן שכדי להגיע אל המוט הוא ילך מרחק כפול מהמרחק ההתחלתי שלו מהמוט.

נקודה מעניינת היא שאם במקום האיש והמוט נקח שתי נקודות (חסרות מימדים), הרי שכיוון התנועה של הנקודה הנעה לעולם לא יהיה אל הנקודה הנייחת ומכאן שהמסלול יקיף את הנקודה הנייחת אין-סוף הקפות ולא יגיע אליה לעולם. לעומת זאת אם הנקודה נעה במהירות קבועה לאורך המסלול שאורכו הכולל הוא סופי (פעמיים המרחק ההתחלתי), היא אמורה להגיע לנקודה הנייחת תוך זמן סופי. מכאן שהנקודה הנעה תקיף את הנקודה הנייחת אין-סוף פעמים בזמן סופי...

כמובן שבמקרה האיש והמוט המרחק בינהם יגיע מהר מאד למרחק השווה למחצית עובי האיש פלוס רדיוס המוט ואז האיש יגיע למוט.

זה דווקא קל, יחסית לחידה המעצבנת עם המספרים :).

מחלקים את המסלול לצעדים אינפיטסימליים.לכל צעד של האיש יש רכיב בכיוו המוט ורכיב ניצב. כדי שיגיע למוט סכום הרכיבים בכיוון המוט צריך להיות 100 מטר.  כל צעד נעשה בכיוון 60 מעלות מהניצב לקו מהאיש למוט. הצעד נעשה על יתר של משולש ישר-זוית שהזוית הקרובה לפוזל שבו היא 30 מעלות והשניה 60 (אין לי כוח לצייר, סליחה...) . הצלע הקרובה לפוזל היא לכיוון ניצב למוט, והצלע שמולו היא לכיוון המוט. טריגונומטריה פשוטה תראה שבמשולש כזה אורך היתר (הצעד שעושה הפוזל) היא פי 2 מאורך הצלע ממול (הרכיב לכיוון המוט). לכן הוא הולך פי 2 מהמרחק.

ראובן,

הפתרון שלך נכון. חבל שלא חיכיתי עוד קצת לפני שהכנסתי את הפתרון בעצמי.

עכשיו אחרי שפתרת, תראה את ההערה שלי אחרי הפתרון.