שלום. אני תלמיד בתיכון בי', ואני מבקש שמישהו יסביר לי בצורה מתמטית (אבל הכי פשוטה, זיכרו שאני רק בתיכון)

את הפרדוקס שאם עושים את ההוכחה הבאה:

 0.333333333 = 1/3

כמובן שאני מתכוון לאינסוף 3 אחרי הנקודה.

עכשיו אם נכפיל את שני הצדדים ב3, נקבל

0.99999  = 1

המורה שלי למתמטיקה אמרה לי שזה אכן נכון, אבל לא הסכימה להסביר לי למה.

השאלה שלי היא פשוטה:

האם ייתכן שבציר המספרים איפה שנמצא 1, אני אוכל למצוא גם את 0.99999....  ?

תודה מראש!

מקווה שההסבר פשוט:

- נניח שיש ביטוי מספרי מהצורה: אחד פחות אחד חלקי X.

- ככל ש-X גדל, הביטוי הזה מתקרב בערכו ל- 1 (המושג מתקרב משמעותו הפרש בערך מוחלט).

- אפשר להגדיר מספר כלשהו N שכל מספר שגדול ממנו, נניח שערך הביטוי מספיק קרוב ל- 1.

- תוכל לראות שאם תכפול ...0.333333 (מספיק ארוך) המכפלה של מספר זה ב- 3 יהיה גדול מ- 1 פחות 1 חלקי N ולכן נאמר שהוא מספיק קרוב ל-1.

עכשיו החלק החשוב: לא משנה עד כמה יהיה המרחק בין 1 ובין 1 פחות 1 חלקי N יהיה קטן, עדיין המכפלה שלהלן תהיה קרובה יותר ל-1. 

הסבר אחר (בשפה אחרת): 

כל מרחק קטן מ- 1 שתבחר המספר ....0.33333*3 יהיה קרוב יותר ל-1 .

אז עדיין לא קיבלתי תשובה חד משמעית. לפני מה שהמורה שלי אמרה לי "למדנו על זה באוניברסיטה לפני הרבה זמן וזה נכון אבל אני לא אפרט בנושא."

בחזרה לשאלה שלי - האם בציר המספרים, אני אמצא גם את 1 וגם את 0.999999999 באותה הנקודה?

הידע התיכוני שיש לך לא מספיק בכדי לקבל תשובה חד משמעית.....

את האמת זה הא"ב של חדו"א, הגדרה מאוד בסיסית... אם אני לא טועה זה הגדרת הגבול בסדרה.

אני ניסיתי כמה פעמים לכתוב את ההסבר ולצערי אף אחד מהם לא הכי מובן שבעולם, אני זוכר את עצמי כאשר בסמסטר ה1 ללימודי, ניסיתי להבין את זה , אז לקח לי זמן.

מה שאני יכול זה לתת לך לינק לויקיפדיה... תקרא את ההגדרה וההסבר מספר פעמים, אולי זה יעזור

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94

שלום

אתה צודק לגבי פיי. זהו מספר עם אינסוף ספרות אחרי הנקודה שמופיע על ציר המספרים.

באותו אופן גם המספר 0.99999... עם אינסוף ספרות מופיע על ציר המספרים והוא שווה בדיוק לאחד.

בני

הי גדי,

מושג האינסוף הוא בעייתי במתמטיקה ויש להיזהר בשימוש בו.

למעשה אי אפשר לדבר על מספר עשרוני בעל אינסוף ספרות אחרי הנקודה. את המספרים שהזכרת פשוט לא ניתן לבטא בשיטה העשרונית. אפשר לבטא מספר שיהיה קרוב ככל שנרצה אל אחד מהמספרים האלה, אבל לעולם לא את המספר המדוייק.

במתמטיקה, במקום לדבר על אינסוף, מדברים על הגבול של גודל מסויים כאשר גודל אחר שואף לאינסוף.

אפשר לראות שבר עשרוני כסכום של מספר עשיריות, מספר מאיות, מספר אלפיות וכן הלאה, ואפשר לשאול את השאלה מהו הגבול (העליון במקרה זה) שאליו ישאף המספר, כאשר מספר הספרות שואף (אבל לעולם לא מגיע) לאינסוף.

במקרה של ...0.33333 הגבול הזה הוא שליש. כלומר, ככל שנוסיף ספרות המספר יתקרב לשליש, אבל לעולם לא יגיע אליו או יעבור אותו.

במקרה של ...0.99999 הגבול הוא 1.

במקרה של פאי הגבול הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, אבל הגדרת סדרת המספרים שאותם יש לסכם מורכבת יותר מכיון שהוא אינו מספר רציונלי (לא ניתן לבטא אותו כשבר פשוט).

כל המספרים האלה הם מספרים ממשיים ולכן כולם נמצאים על ציר המספרים.

מה שרשמת בהוכחה הוא לכן, ש-...0.99999 שווה בקירוב ל-1, מה שנכון כמובן.

אני מקווה שהיתי ברור

צטט: GadiN 2008-09-17 10:10:55

פרדוקס ה 0.99... = 1

שלום. אני תלמיד בתיכון בי', ואני מבקש שמישהו יסביר לי בצורה מתמטית (אבל הכי פשוטה, זיכרו שאני רק בתיכון)

את הפרדוקס שאם עושים את ההוכחה הבאה:

 0.333333333 = 1/3

כמובן שאני מתכוון לאינסוף 3 אחרי הנקודה.

עכשיו אם נכפיל את שני הצדדים ב3, נקבל

0.99999  = 1

 

המורה שלי למתמטיקה אמרה לי שזה אכן נכון, אבל לא הסכימה להסביר לי למה.

השאלה שלי היא פשוטה:

האם ייתכן שבציר המספרים איפה שנמצא 1, אני אוכל למצוא גם את 0.99999....  ?

 

תודה מראש!

הבעיה המחשבתית שלך היא שאתה רושם מספר סופי של ספרות בצד ימין של המשוואה ואז אתה רואה כאילו שני מספרים שונים:

0.99999  = 1

כשאתה אומר "אינסוף 9 אחרי הנקודה" אתה צריך להבין שאתה לא יכול לרשום את זה בצורה העשרונית הזאת כי אף פעם לא תגמר את העבודה. גם אם תיקח פיסת נייר ותקדיש את כל חייך לרישום תשיעיות זה עדיין לא יהיה "אינסוף 9 אחרי הנקודה". 

"אינסוף 9 אחרי הנקודה" הוא מושג מתמטי מופשט שאת הגדרתו תלמד באוניברסיטה והמשוואה צריכה להיות:

"אינסוף 9 אחרי הנקודה" = 1 

זו צורת הרישום הנכונה מבחינה מתמטית ולשני הערכים מימין ומשמאל לסימן השוויון אותו מקום בדיוק על ציר המיספרים.

.

אני חושב שסיבכתם את הילד...

צירפתי הסבר תמציתי ופשוט שאמור להבהיר את המצב.

צטט: דרך אגב 2009-02-07 09:01:37

השאלה (ובעיקר התשובות לה) מזכירות לי ששאלו איזה מתמטיקאי גאון כמה זה 1+1?

לאחר חישובים מסובכים שהוא עשה בראש הוא השיב: "בערך 2"...

 

אז סליחה שאני "נדחף" כאן בלי לשאול רשות, אבל 0.999999999999 לא שווה 1. ואין זה משנה כמה תשיעיות נשים לאחר הנקודה.

באופן תאורטי כשיש אינסוף תשיעיות אז זה כבר לא 0.999999999 וכו', אלא 1.

כשאתה מחלק במחשבון כלשהו 1 ב-3 התשובה במחשבון תהיה 0.33333333 וכו'. אבל זה לא בדיוק שליש. זה רק קרוב. כי במחשבון יש רק "שבר עשרוני" שזה לא בדיוק שברים. לא כל שבר מתחלק בעשר, אז האפשרות ה"אינסופית" שמבטאת חוסר דיוק מתימטי היא אילוץ בגלל נוחות השימוש בשברים עשרוניים.

אתה יכול להתנחם בעובדה שגם כשמנסים לחלק מגש פיצה לשמונה משולשים (שאגב, הם לא בדיוק משולשים) זה יוצא בערך שמינית מגש ולא בדיוק.

ואם אחרי זה אתה מנסה לחבר את כל החתיכות אתה מוצא שחסר מהן כל השאריות שנשארו על המגש ועל גלגל החיתוך של הפיצה.

בשלב יותר מאוחר תלמד שגם כשאתה מוצא חתיכה אחת מושלמת - בכל זאת חסר בה משהו.

אבל זה כבר לא שייך למתימטיקה.

 אתה יכול להדחף כמה שאתה רוצה.

1. micham25 כבר נתן את התשובה בצירוף הוכחה.