(העתקתי מאלף אפס, אני לא כותב בחרוזים)

סיבובים כידוע - אם אתה מהרהר
עלולים לך את הראש לסחרר,
ועובדות בסיסיות שמול עיניך ערוכות
פתאום משתבשות ופשוט מופרכות!
קח למשל "עץ או פלי" שתי מטבעות שוות
של עשרה שקלים (להדגמה הן טובות…)
הנח אותן ישירות על השולחן,
והפלא הנה ערוך ומוכן:
מטבע אחת על מקומה היא ניצבת
והשנייה סביב הראשונה כמשיקה מסתובבת
ולאחר חצי סיבוב כשבודקים את המצב
מצפים, כמובן, שה-"10" על ראשו יוצב.
(שתי המטבעות כפי שהצהרנו הרי תאומות זהות הן לגמרי…)
אך אם תתבונן ותבדוק מה קרה
תראה שהמטבע שהסתובבה - ישרה

חכה נא - עוד לא סיימנו עם סיבובים
פלא נוסף לך אנו חבים.
קח נא עתה רק מטבע אחת
(שוב עשרה שקלים - אל תפחת!)
ועכשיו - אם פרדוכסים אתה חובב
אותה על פני ציר ישר בזהירות סובב
ולאחר שסיבוב אחד בדיוק תגמור
מה האורך שנקבע על הציר? - נא אמור!

מצד אחד הוא שווה בדיוק להיקף המטבע
המסתובב האמור,
אך באותו פרק זמן מוכרחים להודות
(גם אלה המקפידים על דיוק מדידות…)
השלים סיבוב שלם גם המעגל הפנימי
על פני ציר אחר, לכאורה דמיוני.
שני הקטעים שהתקבלו באורכם זהים
ראה הדוגמה - בברור זאת רואים…
ואז אתה מגיע - פשוט אין ברירה-
למסקנה הנחרצת והמאד מוזרה!
שני המעגלים שווים בהיקפם.
סתירה בנתונים - מי זייפם?
זה הפרדוקס ירושת גלילאו מה מסתתר פה? גל גלה!

מגניב.

וההסבר הוא?

טוב לדעתי בחלק הראשון (המטבעות שמשיקים אחד לשני) אין בכלל פרדוקס, זה מה שהייתי מצפה שיקרה  באמת..

לגבי החלק השני ההסבר ל"פרדוקס" הוא קצת מתימטי, אני מקווה שאצליח להסביר את זה בלי לסבך יותר את העניינים..

כשמגלגלים את המבטע ומסתכלים על הקו "שמצייר" המעגל החיצוני של המטבע, מקבלים באמת ישר באורך L שהוא היקף המטבע. כשמסתכלים על הקו ש"מצייר" המעגל הפנימי יותר במטבע, מקבלים שוב ישר באורך L, וזה באמת נכון. ברור לנו שזה לא יכול להיות ההיקף של המעגל הפנימי במטבע.

ההסבר הוא שהאינטואיציה שלנו לגבי "התאמות חד-חד ערכיות" היא קצת מוטעית.

אם נקח שתי קבוצות שונות שמכילות מספר בן מניה ( כלומר שאפשר ממש לספור אותו, כמו 15, 78, 67876, וכו'.. ונניח לרגע שאפילו זה מספר סופי)  של איברים, אם יש איזה התאמה חד-חד-ערכית בין שתי איברי הקבוצה, כלומר אם לכל איבר באחת הקבוצות מתאים איבר אחד ויחיד בקבוצה השניה, אז אנחנו אומרים שהקבוצות הללו הן באותו גודל. זה באמת אינטואיטיבי...

במקרה שמתואר כאן, סה"כ הסרטון מדגים שיש התאמה חד חד ערכית בין היקף המעגל הקטן, ובין קטע ישר L.

הנקודה החשובה היא שקטע כזה לא מהווה קבוצה בת מניה כמו שתיארתי קודם. זה  אוסף רציף של נקודות. אמנם ממה שתיארתי קודם אנחנו אומרים ש"הקבוצות הללו באותו גודל" כלומר לקטעים הללו אותו גודל- מה שבאמת  נכון מנקודת מבט של תורת הקבוצות. אבל הגודל הזה הוא לא האורך של הקטע...

בסה"כ צריך להבין כאן רק שהפרדוקס לכאורה, נעוץ בזה שאנחנו מקשרים באופן אוטומטי התאמה חד חד ערכית לאורך הקטע, וזה המקור לבלבול.

לפי מה שראיתי, גם כשאנשים מבינים את המקור לבלבול, לא תמיד הם יודעים לנסח את זה בצורה שתיארתי כאן, ויכול להיות  שההסבר שלי אפילו רק יפריע לחלק מהאנשים. אתם מוזמנים לתת הסברים יותר פשוטים..

נראה לי שההסבר לחלק השני מאוד שונה. בשרטוט מצוייר היטל המסלול שהמטבע עוברת.

באופן מעשי, המטבע "מציירת" שתי ספירלות.אחד גדול(התלוייה בחלק החיצוני) ואחד קנה יותר (של החלק הפנימי).

האם תחשב את אורך הפירלות תקבל את היחס שציפית.

ההשלכה של הספירלות על הישר זה מש שמופיע בסרטון שלך.

צטט: eddiea 2009-01-09 22:35:13

נראה לי שההסבר לחלק השני מאוד שונה. בשרטוט מצוייר היטל המסלול שהמטבע עוברת.

באופן מעשי, המטבע "מציירת" שתי ספירלות.אחד גדול(התלוייה בחלק החיצוני) ואחד קנה יותר (של החלק הפנימי).

האם תחשב את אורך הפירלות תקבל את היחס שציפית.

ההשלכה של הספירלות על הישר זה מש שמופיע בסרטון שלך.

אני מצטער אבל אני לא בטוח שהבנתי למה אתה מתכוון כשאתה מדבר על ספירלות והיטלי מסלול...

אם אתה רוצה צירפתי קובץ שמתאר בדיוק איזה התאמות חד חד ערכיות מתאר הפרדוקס הזה...

המסלול אותה עוברת נקודה על היקף המטבע אינו אותו מסלול כמו הנקודה הפנימית. ההבדל נעוץ במהירות של כל אחת מהנקודות. המעגל הפנימי נע במהירות נמוכה יותר מהנקודה החיצונית. ניסיתי לצייר את המסלול  שעוברת נקודה על המעגל הפנימי והחיצוני.

אם זכרוני אינו מטעה אותי ישנו מושג  הנקרא מהירות זויתית והוא מתאר מהירות כיחס של חלק של מעגל שעוברים ביחידת זמן. המהירות הזויתית שווה אבל המהירות המוחלטת לא. הקו ששרטטת הוא היטל המסלול. רישום זה מחביא בתוכו את העובדה שיש לנקודה פנימית מהירות נמוכה יותר ומסלול קצר יותר. בשל העובה שהמהירות שונה והמרחק שונה - הזמן שאורך סיבוב אחד הינו שווה.

שני הקווים יהיו באותו אורך אך ורק כאשר המטבע משלים חצאי סיבוב.

ההסבר הפיסיקלי לקוח מתוך מכניקה של גוף קשיח, ונובע מכך שהמטבע אינו סובב סביב מרכזו אלא סביב ציר זמני המשתנה בכל רגע בעת הסיבוב. (נקודת המגע עם המשטח)

להסבר מלא ומייגע: http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Mechanics/kinematics.html

אדי, אתה צודק לגבי מה שאתה אומר על מסלול שמציירת נקודה קבועה על המעגל (זו לא ספירלה אלא ברכיסטוכרון), אבל לא זה מה שמתואר כאן. במקרה המתואר (אם נתאר את זה בצורה קצת פשטנית) מסתכלים על הנקודה התחתונה של המעגל בכל רגע ורגע ומסמנים אותה בצבע. ברור שמדובר בתהליך רציף, ובעצם הנקודה התחתונה ביותר של המעגל מציירת קו ישר רציף שאורכו כהיקף המעגל הגדול. אין חשיבות לדבר על מהירות זוויתית או מהירות קווית של נקודה על המעגל,שהרי בתיאור הבעיה כלל לא מדובר בנקודה קבועה על פני המעגל...

וגם אם לוקחים בחשבון כל דבר שידוע לגבי גוף צפיד, זה לא פותר את הבעיה.

-

צטט: רפי מור 1 2009-01-12 11:40:03

החלק הראשון:

 

אילו היה מטבע מתגלגל לאורך קו ישר שאורכו כמחצית היקפו, היה באמת המטבע משלים חצי סיבוב סביב עצמו. במקרה שלנו המסלול שלאורכו המטבע מתגלגל (מחצית היקפו של המטבע הנייח) הוא מעגלי ומשלים גם הוא חצי סיבוב. מחצית הסיבוב של המסלול פלוס מחצית הסיבוב של הגילגול מסתכמים, והמטבע משלים סיבוב שלם סביב עצמו.

 

החלק השני:

 

אורכו של קו שווה להיקפו של מעגל שנע לאורכו ומשיק לו במשך כל התנועה, רק עם בנקודת ההשקה אין תנועה יחסית בין המעגל לקו. הרי יכולנו לקחת את המטבע בלי לסובב אותו כלל ולהחליק אותו לאורך קו בכל אורך שנרצה. כאשר אין תנועה יחסית בין הקוטר החיצוני לקו שלאורכו אנחנו מגלגלים את המטבע, כל מעגל פנימי יותר "יחליק" קדימה לאורך הקו המשיק לו, ולכן אורך הקו יהיה גדול מהיקף המעגל הפנימי.

חידה ממש נחמדה.

מכיוון שכולם כותבים פה עם מיץ לימון ומגהצים אח"כ, אוסיף כך גם את שלי.

לגבי החידה הראשונה:

כאשר המטבע העליון מתגלגל ועושה סיבוב של 360 מעלות, כך גם המטבע העומד. אנחנו יכולים לחשוב בטעות שהוא לא זז, אבל הוא נע באופן יחסי בכיוון ההפוך למטבע העליון.

ומכיוון שהם נעים בכוונים הפוכים זה לזה, כל אחד מהם עושה את הדרך וכך יש לנו כפליים מהדרך, כך שעשה היקף שלם.

.

לגבי השני:

אני מצרפת תרשים (ומקווה שאצליח להעלות אותו), בו רואים עיגול בתוך עיגול מחולקים לגזרות. כאן ניתן לראות שלכל גזרה העיגול הגדול שעושה את הדרך, עושה קטע ארוך יותר מאותו קטע של הגזרה הקטנה. כך ניתן לראות כיצד מתבצעת המתיחה (תרתי משמע).

.

צטט: רוזמונד 2009-01-12 20:45:27

 

אני מצרפת תרשים (ומקווה שאצליח להעלות אותו), בו רואים עיגול בתוך עיגול מחולקים לגזרות. כאן ניתן לראות שלכל גזרה העיגול הגדול שעושה את הדרך, עושה קטע ארוך יותר מאותו קטע של הגזרה הקטנה. כך ניתן לראות כיצד מתבצעת המתיחה (תרתי משמע).

.

 

סוף סוף משהו שאני מסכים איתו! ההסבר על המתיחה הוא בדיוק ההסבר שניסיתי לומר כשדיברתי על ההתאמה החד חד ערכית ההיא..

יפה.