נתונה מטריצה סימטרית בגודל 99X99. נתון שבכל שורה ובכל טור במטריצה מופיעים כל המספרים מ 1 עד 99.

 

האם גם באלכסון הראשי בהכרח מופיעים כל המספרים מ 1 עד 99?

כמובן שלא: ברגע שאסדר את השורה הראשונה 1,2,3,4 ובשורה הבאה 2,1,3,4 - אקבל פעמיים 1 באלכסון וכו'.

צטט: זה שלי מהבית 2009-04-09 20:24:50

כמובן שלא: ברגע שאסדר את השורה הראשונה 1,2,3,4 ובשורה הבאה 2,1,3,4 - אקבל פעמיים 1 באלכסון וכו'.

 

 

נתת דוגמה נגדית של מטריצה עם מספר זוגי של אברים

אפשר ליצור מטריצה מסדר n באופן שכל שורה היא הסטה סיבובית ימינה של השורה שמעליה (המספר הימני ביותר עובר להיות השמאלי ביותר וכל שאר המספרים מוזזים מקום אחד ימינה). באופן כזה יהיו בכל שורה  ובכל טור כל המספרים שמופיעים בשורה הראשונה ובאלכסון הראשי יהיה אותו המספר בכל המקומות.

מכאן שהתשובה לשאלה היא, שבאלכסון הראשי לא מוכרחים להיות כל המספרים.

צטט: רפי מור 1 2009-04-10 23:02:02

אפשר ליצור מטריצה מסדר n באופן שכל שורה היא הסטה סיבובית ימינה של השורה שמעליה (המספר הימני ביותר עובר להיות השמאלי ביותר וכל שאר המספרים מוזזים מקום אחד ימינה). באופן כזה יהיו בכל שורה  ובכל טור כל המספרים שמופיעים בשורה הראשונה ובאלכסון הראשי יהיה אותו המספר בכל המקומות.

מכאן שהתשובה לשאלה היא, שבאלכסון הראשי לא מוכרחים להיות כל המספרים.

מטריצה שכזו לא תהיה סימטרית, כפי שנתון בשאלה.

 

צטט: אורי אחר 2009-04-10 23:15:38

מטריצה שכזו לא תהיה סימטרית, כפי שנתון בשאלה.

 

 

מה שמלמד שרצוי לקרוא את השאלה היטב לפני שמנסים לפתור אותה.

 

במטריצה מסדר n שבה מופיעים כל כל המספרים מ-1 עד n בכל שורה, כל אחד מהמספרים מופיע בדיוק n פעמים. אם המטריצה סימטרית, מספר הפעמים שמספר כלשהו יופיע בחלק שמעל האלכסון זהה למספר הפעמים שהוא יופיע מתחת לאלכסון, כלומר, כל מספר שמופיע מחוץ לאלכסון יופיע מספר זוגי של פעמים. אם n הוא אי-זוגי, הפתרון האפשרי היחידי שבו כל מספר מופיע n פעמים במטריצה הוא שכל המספרים מופיעים 2/(n-1) פעמים מעל ומתחת לאלכסון ופעם אחת באלכסון.

כלומר, כל המספרים צריכים להופיע באלכסון.

צטט: רפי מור 1 2009-04-12 10:15:36

 

במטריצה מסדר n שבה מופיעים כל כל המספרים מ-1 עד n בכל שורה, כל אחד מהמספרים מופיע בדיוק n פעמים. אם המטריצה סימטרית, מספר הפעמים שמספר כלשהו יופיע בחלק שמעל האלכסון זהה למספר הפעמים שהוא יופיע מתחת לאלכסון, כלומר, כל מספר שמופיע מחוץ לאלכסון יופיע מספר זוגי של פעמים. אם n הוא אי-זוגי, הפתרון האפשרי היחידי שבו כל מספר מופיע n פעמים במטריצה הוא שכל המספרים מופיעים 2/(n-1) פעמים מעל ומתחת לאלכסון ופעם אחת באלכסון.

כלומר, כל המספרים צריכים להופיע באלכסון.

 

למיטב ידיעתי זו התשובה הנכונה.

"סימטרית" - באיזה מובן? מהו ציר הסימטריה?

במתמטיקה מטריצה סימטרית היא מטריצה שציר הסימטריה שלה הוא האלכסון שבו שני האינדקסים שווים. כלומר, האלכסון שמתחיל ב-(A(1,1 ונגמר ב-(A(n,n, או כפי שנהוג לרשום מטריצה האלכסון מהפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה.